できます。弁護士が貸金業者に受任通知を送った場合、貸金業者はあなたやその関係者へ連絡をすることができなくなります。ですので、あなたがお話しにならない限り、家族や会社の人には知られません。
今まで多くのご依頼者が、家族や会社に秘密のまま任意整理の手続きを終えられていますのでご安心ください。
もっとも、できることなら、ご家族に事情をご説明いただき、ご家族のご協力を得ることをお勧めします。家族が力になってくれれば非常に心強いですし、精神的に楽になると思います。