労働基準法では、使用者に対して、解雇する場合には少なくとも３０日前の予告、あるいはこれに代わる解雇予告手当の支払を義務づけています。
ただし、一定の臨時的な雇用の場合には解雇予告をさせることが困難あるいは不適当であるため、解雇予告手当制度の適用除外者として、次の者を定めています。
①日雇労働者（ただし、１か月を超えて引き続き使用される場合には適用あり）
②２か月以内の期間を定めて使用される者
③季節的業務に４か月以内の期間を定めて使用される者
④試用期間中の労働者（ただし、１４日を超えて引き続き使用される場合には適用あり）
したがって、御質問のアルバイトについては、雇入れ当初の１か月契約期間中に解雇するのであれば、解雇予告は必要ありません。しかし、当初の１か月契約を更新した以降の１か月契約の期間途中で解雇する場合には解雇予告が必要です。
なお、解雇予告と解雇予告手当を組み合わせて使うこともできます。
予告期間は３０日なので、解雇予告をし、３０日に不足する日数について解雇予告手当を支払うこともできます。