ご質問のケースでは、相続人がいないため、あなたが特別縁故者にあたる場合には、相続財産分与を請求することができます。
民法によれば、特別縁故者に当たるのは、次のような者です。
①被相続人と生計を同じくしていた者（内縁の妻、事実上の養子、子の嫁など）
②被相続人の療養看護に努めた者
③その他被相続人と特別の縁故があった者
ご質問のケースでは、あなたは、上記①に当てはまりますので、特別縁故者に対する財産分与の請求の申立てを家庭裁判所に対して行うことができます。
特別縁故者に対する相続財産分与は、相続人不存在の場合の手続の中で行われます（相続人不存在の手続については、【遺産相続⑩】をご参照ください）。
なお、分与を受けた場合には、相続税法上は、遺贈を受けた場合に準じて税金を支払うことになりますので、ご注意ください。